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史上最全SAT数学备考要点

2018-11-30 11:08:02 来源:思语整理 阅读

  

史上最全SAT数学备考要点

  要想考出770以上的分数乃至满分,你需要做到以下几点。


  第一,学校的数学课要保质保量地学好。


  很多人觉得SAT数学大部分知识点是初中甚至小学所学,所以高中数学课对此没有直接帮助。但数学课是环环相扣的。学习高中复杂的数学知识需要学生对初中、小学数学进行综合应用,每一次的解题都是对以往知识的强化。高中数学学的好的学生,SAT数学的起点分数大都在730分以上,所以冲击满分难度就小了很多。而在学校数学学习吃力而完全寄希望于培训的学生,他们的起点分数就要低很多。


  第二,对自己的数学水平进行诊断。


  很多SAT数学考不好的学生对自己数学的认识就是“很差”,问他哪里差回答“哪都差”。这样的话即便他找老师辅导也要浪费大量时间分析他的薄弱环节。当然也有学生以为自己弱项是A处,结果老师全盘评估后又发现B处C处。故学生和数学老师最有效的汇报自己情况的方法就是对自己的错题归类整理。比如学生可以做2-3套官方试题,把自己做错和不会的题目按照各个知识点的纯数学题和文字题的类型分好——这里所说的纯数学题就是不掺杂实际生活知识的数学题,而文字题通俗讲就是中国的应用题——并且把每种类型标出错题出处。


  比如SAT官方指南第一套模拟试题section 3第4题就是一次函数(linear function)的文字题:


  Kathy is a repair technician for a phone company. Each week, she receives a batch of phones that need repairs. The number of phones that she has left to fix at the end of each day can be estimated with the equation P = 108   23d, where P is the number of phones left and d is the number of days she has worked that week. What is the meaning of the value 108 in this equation 


  A) Kathy will complete the repairs within 108 days.


  B) Kathy starts each week with 108 phones to fix.


  C) Kathy repairs phones at a rate of 108 per hour.


  D) Kathy repairs phones at a rate of 108 per day.


  这样做的好处就在于学生能让自己主要问题醒目展示出来,也便于老师有针对性的讲解。


  第三,解决问题。


  在已经了解自己薄弱环节的基础上,同学们可以按照问题的多寡来排序解决。解数学题就如同打篮球、弹钢琴等行为一样——一半靠学一半靠练。自学能力强的同学可以借助于辅导资料来实现。相较于文字题,纯数学问题往往更容易解决。因为作为中国学生,我们有大量的中文练习资料可以借鉴。SAT数学题当中的纯数学部分出了问题,往往能从初中数学辅导资料中找到对应例题和练习。把每种类型的题目看懂例题后再强化10-20题,学生就可以基本拿下这类问题。


  第四,确保数学相关词汇看懂。


  这个方面看似不起眼,其实是大多数学生SAT数学丢分的主要原因:单词不认识。很简单,如果题目需要你选中一个integer,而你并不知道integer的意思是“整数”,那么这道题目你就不能确保答对。


  又如,题目说一个三角形是isosceles,而你碰巧不知道isosceles是“等腰三角形”的意思,那么你将会遗漏两个决定性条件:两条边相等,两个角相等。


  再如,如果题目说independent variable和dependent variable之间是linear relationship,而你既不知道independent variable是自变量X,也不知道dependent variable是因变量Y,同时你也不知道linear relationship是线性关系。那么,这句话的实质Y=aX+b(一元一次方程)就不可能被你获知了。


  由这几个例子可以看出:词汇不稳,丢分最狠。因此,强烈建议广大考生在备考过程中认真牢记数学词汇。


  那么,这些数学词汇到何处搜集呢?请用“AMC数学词汇”为关键词上网去搜。你会找到很多数学词汇列表,在此我便不赘述了。


  考前别忘了再看一波词汇表哦!


  第五,知识体系无漏洞


  对于大部分中国学生而言,数学知识体系是相对比美国学生更加完善的,但是需要注意的是中美两国对于数学考察的侧重点不一样。同时,我们的学生应该把数学部分少扣分或者不扣分作为SAT考试的目标之一,因此我们为大家列出数学部分的知识体系,供大家总结学习。


  按:以下部分整理自公众号外滩教育(TBEducation)


  1、一元一次方程/不等式


  知识点 ▼

史上最全SAT数学备考要点

  例题1:(2016年5月的亚太题目)


  Salim wants to purchase tickets from a vendor to watch a tennis match. The vendor charges a one-time service fee for processing the purchase of the tickets. The equation T = 15n + 12 represents the total amount T, in dollars, Salim will pay for n tickets. What does 12 represent in the equation 


  A) The price of one ticket, in dollars


  B) The amount of the service fee, in dollars


  C) The total amount, in dollars, Salim will pay for one ticket


  D) The total amount, in dollars, Salim will pay for any number of tickets


  解析:第一句话给出的是题目的实际含义和背景。


  本题的考点是对于一元一次方程的解释。对于本题的阅读感到吃力的同学,请努力提高数学的阅读理解水平。


  例题2:(2016年5月的亚太题目)


  Snow fell and then stopped for a time. When the snow began to fall again, it fell at a faster rate than it had initially. Assuming that none of the snow melted during the time indicated, which of the following graphs could model the total accumulation of snow versus time 

史上最全SAT数学备考要点

  解析:“a faster rate”说的是斜率更大,因此在图像表现上更加陡峭。中间停雪阶段的积雪图像应该是与x轴平行的线段。


  这种表达在物理的溶解,蒸发,凝华,升华等物态变化上比较常用,也是新SAT考察的一项重点。本题答案为A。做错的同学需要复习相关知识。


  例题3:


  一元一次不等式,包括算法和意义不是中国广大考生的难点,但是新SAT考试中侧重图像表达和理解,因此还是需要展示一下一元一次不等式的图像。


  如图,斜着的直线是y=2x-5的图像。那么,y>2x-5的图像就是这条直线的上方,因为针对每一个x值,直线上方的点都能够满足y>2x-5。因此,一元一次方程的图像是一条直线,但是一元一次不等式的图像则是由相应的直线所划定的一片区域。

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  例题4:


  一般的ratio的题目比较简单,所以考试的时候会考综合ratio的概念。这里提供一个假设的例子(不是真题,但是真题的难度与此相同)。


  某人从A走到B。先用了x小时,a速度从A走到C,然后又用了y小时,b速度从C走到B。问:该人从A走到B的平均速度。


  解答:速度=距离/时间。这是一个经典的ratio公式。按照这个公式,可以列出如下算式:Speed=(xa+yb)/(x+y)


  当然,这个算式还需要考虑到计算单位的转换,如速度应该转换为时速,才能和小时相乘。而且,如果原文增加了条件,如,在C点做了n分钟的停留,则算式应该变成:Speed=(xa+yb)/(x+y+n/60)


  可见,对于ratio的考察,需要学生一定要弄清概念,整合条件,才能得出正确答案。这种题目的干扰项很有趣,很多美国学生会直接用(a+b)/2作为平均速度。


  例题5:


  在新SAT真题中考过的复合函数难度级别比较低。因此,我在下文给出一个假设的例子,该例子的难度级别更高一点,有利于学生的备考。


  F(x)=ax+b, G(x)=cx+d, 求G[F(x)]和F[G(x)]之间的关系。


  解:G[F(x)] =c F(x)+d= c (ax+b)+d=acx+cb+d


  F[G(x)]= a G(x)+b=a(cx+d)+b=acx+ad+b


  可见:G[F(x)]- F[G(x)]= (c-1)b+(1-a)d, G[F(x)]与F[G(x)]并不直接相等。


  以下给出一道复合函数的例子:(Official Guide上的题目)


  A function f satisfies f (2) = 3 and f (3) = 5. A function g satisfies g(3) = 2 and g(5) = 6. What is the value of f (g(3))  


  (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 6 


  答案是B。


  例题6:(Official Guide例题)


  The stratosphere is the layer of the Earth’s atmosphere that is more than 10 kilometers (km) and less than 50 km above the Earth’s surface. Which of the following inequalities describes all possible heights x, in km, above the Earth’s surface that are in the stratosphere 


  (A) |x+10|<50


  (B) |x-10|<50


  (C) |x+30|<20


  (D) |x-30|<20


  解析:在新SAT中考核的和绝对值有关系的题目大多是衡量一个数轴上的距离。本题x的数值在10到50之间,即:x距离线段10到50的中点30的距离应该在20之内,所以答案应该是D。画图会辅助这类题目的解答。


  2、二元一次方程组/不等式


  二元一次方程组/不等式是在一元一次方程组/不等式的基础上演化而来,本身没有太多难点。在考试的时候,比较偏重的知识点有:

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  例题10:(2016年5月的亚太题目)


  A laundry service is buying detergent and fabric softener from its supplier. The supplier will deliver no more than 300 pounds in a shipment. Each container of detergent weighs 7.35 pounds, and each container of fabric softener weighs 6.2 pounds. The service wants to buy at least twice as many containers of detergent as containers of fabric softener. Let d represent the number of containers of detergent, and let s represent the number of containers of fabric softener, where d and s are nonnegative integers.


  Which of the following systems of inequalities best represents this situation 

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  解析:本题的重点就是阅读理解。如果理解的不到位,就会选错。本题答案是A,做错的同学需要提高数学相关的阅读理解。


  同理,二元一次方程组的另一个易错点是没有认清题目要求。


  比方说,大多数学生都会列二元一次方程组来习惯性的求解x,y,但是也许题目最终的要求是x+2y等于多少,这样很多学生因为忽略最终要求就容易出错。因此,二元一次方程组的解题关键,是一定要认真注意结尾的要求问的是什么。


  例题11:如下图所示:

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  蓝色直线是y=2x-5,红色直线是y=0.5x+15。满足这个二元一次方程组的解是蓝红两条直线的交点(40/3,65/3)。


  如果是二元一次不等式,则满足条件的值为相应的区域。


  比方说:满足y>2x-5的点落在蓝色直线的上方,而满足y<0.5x+15的点落在红色直线的下方。


  因此,同时满足这个二元一次方程组的点应该落在两条直线交点左下方的上红下蓝的夹角之内。


  3、一元二次方程/不等式

史上最全SAT数学备考要点

  一元二次方程是新SAT数学的考试重点,也是一些学生会开始感觉到难度的题目。其知识点的重点是factoring,因式分解。以下列出知识点。


  例题15:(OfficialGuide上的题目)

史上最全SAT数学备考要点

  4、幂函数/指数函数/对数函数


  对于幂函数和指数函数的基本运算,新SAT强调的是如下知识点:

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  例题17:


  In  planning  maintenance  for  a  city’s  infrastructure, a civil engineer estimates that, starting from the present, the population of the city will decrease by 10 percent every 20 years. If the present population of the city is 50,000, which of the following expressions represents the engineer’s estimate of the population of the city t years from now 

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  解析:这道题目虽然考的是人口减少,但是其本质就是银行的复利问题。答案是D。


  题目的真正难点是:计算单位要一致。题目中说:每20年减少10%, 则计算年代的单位应该是20年而不是单独的一年。因此,t年的计数单位应该是t/20,而不能直接是t.


  例题18:(Official Guide 上的题目)


  A radioactive substance decays at an annual rate of 13 percent. If the initial amount of the substance is 325 grams, which of the following functions f models the remaining amount of the substance, in grams, t years later 

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  解析:这道题答案是A。


  从公式上看,这道题的自变量貌似是t,因此看起来像是指数函数。但是它的本质和幂函数里面的复利计算没有什么差别。


  这种题目的真正难点是:计算单位要一致。比方说,这道题目里面的t如果不是years,而是months,那么指数部分就不能是t, 而应该是t/12。Annual rate一定要和years这两个变量的计算单位要一致。


  5、三角函数

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  三角函数的第一大拦路虎是单词,如trigonometry; 这部分的生词建议学生多多准备。其知识点如下:


  例题19:(Official Guide上的题目)


  解析:由sinα=cos(90-α)知道,K一定是90度,即答案C,π/2。本题考核的是三角函数的基本知识。

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  6、虚数的计算

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  7、数论的基本运用


  说起数论,貌似很高深的意思。但是新SAT中考核的数论都是中国学生初中以前接触到的很基础的知识。


  比方说,要区分质数(prime number)、合数(composite number)。知道2是最小的质数,唯一是偶数的质数,质数是除了1和它本身,不含有其他因子的自然数。因此,当看到这样一道题目的时候,就应该知道如何计算:


  What’s the sum of the four prime numbers-- x, y, x-y and x+y 


  解析:当看到four prime numbers就要知道,这里大多数都应该是奇数。


  而如果x,y都是奇数,则x-y和x+y应该都是偶数。因为数论中清晰的表明:“奇数加减奇数得到偶数,偶数加减偶数得到偶数,偶数加减奇数得到奇数”。


  因为在所有的prime numbers中,只能有一个偶数,故“x,y都是奇数”这个假设不成立,因此x和y中必然有个2。因为x-y是prime number,所以y=2。


  再进一步,y=2时,x-2, x, x+2是三个连续的奇数,这其中必然有一个可以被3整除(数论中有“三个连续的自然数中,有一个可以被3整除”。


  由此可以推导出:“三个连续的奇数中,有一个可以被3整除”【不会这个推导证明的同学,可以去找你的老师补习了】)。


  那么,只能让x-2=3,既满足被3整除,又满足prime number的条件。因此,这四个prime numbers变成了2,3,5,7,他们的和是17。

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  这里先不给出例题,留出空间,让学生可以多学习一下数论的实际应用。


  8、其他


  有的代数题目,貌似没有归在任何类别里面,其实只要灵活变通,答案自现。比方说:

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  解析:这道题的公式非常复杂,是中国房贷中用到的“等额本息”的还款公式。


  然而,题目的要求却非常简单。“gives P in terms of m, r, and N”本身就是一个移项的要求。答案是B.


  第六,考前模拟。


  这里需要各位同学注意的是做题节奏。很多同学放慢做题能做到800,可一旦计时做题那速度就快得像去赶飞机。结果做好后发现马虎错误一大堆,分数连750还不到。所以在已经把前面三大注意事项都实现的基础上,可以试一试找准自己的做题节奏。如果发现数学部分做完后还剩多于5分钟的时间,那可将此次模考的时间分配视为失败——即便这次满分或只错了1题。如果能够连续在3次模考中达到满分那么SAT数学才可算100%放心。


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